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Colón descubrió América y demostró al mismo tiempo que la Tierra es redonda. Esa es la versión popular de la gesta del marino genovés. Nunca sabremos por qué ocurrieron estas deformaciones de la verdadera historia. Pero lo cierto es que el descubrimiento sólo puede ser tomado en cierto sentido particular. Y además, ningún sabio de aquellos tiempos dudaba de la esfericidad de nuestro viejo y buen planeta. El problema es saber cuánto mide su radio.

La leyenda popular nos dice que Colón debió pelear contra el prejuicio de que la Tierra era plana; que debió convencer a los sabios de Salamanca acerca de su idea peregrina de que nuestro mundo es esférico; que se le reían en la cara por defender estos principios y que perseveró a pesar de quienes opinaban lo contrario. Nada de esto es cierto. Y para demostrarlo nos remontaremos a la Grecia clásica. Los argumentos clásicos en favor de la Tierra esférica que manejaban los griegos son:

a) cuando los barcos se acercan a una costa divisan primero las estribaciones de los montes y luego las bases,
b) la estrella Polar tiene distinta altura en Grecia que en Egipto (o también: algunas estrellas circunpolares de Grecia no lo son en Egipto),
c) los eclipses lunares pueden ser explicados como la interposición de la Tierra ante la luz del Sol. Los griegos observaron que la sombra que avanza sobre nuestro satélite es circular.

De a) y b) se puede inferir que la Tierra es al menos cilíndrica con el eje principal en dirección Este -- Oeste (hipótesis planteada por Anaximandro). De c) se infiere que la Tierra es cuanto menos un disco. Hubo en la Grecia clásica incluso algunos filósofos osados que llegaron a suponer que la Tierra además de redonda no ocupaba el sitial preferencial del centro del Universo: Leucipo y Demócrito en el V AC creían en un Universo infinito donde el centro no tenía sentido; Pitágoras en el IV AC suponía que Tierra, Sol, Luna, planetas y estrellas giraban alrededor de un Fuego Central; en la misma época Heráclides del Ponto sugirió que el movimiento diario de los astros celestes era debido a la rotación de la Tierra, obviamente esférica; Aristarco de Samos en el III AC precedió a Copérnico en 1800 años y pensó que el Centro del Universo era el Sol, alrededor del cual giraban en órbitas circulares los planetas, incluída la Tierra. Estas teorías eran sumamente osadas para su época y hoy se nos revelan ciertas, pero en aquellos tiempos debían responder interrogantes imposibles para el bagaje teórico y observacional disponible.

El modelo teórico, paradigma o esquema conceptual a decir de T. S. Kuhn más exitoso de aquellos años fue sin duda el Universo de las dos esferas. Básicamente consistía en considerar a la Tierra como una esfera (la interna) en el centro del Universo y el resto de planetas, estrellas, Sol, y Luna en la esfera externa. En este contexto son las estrellas y planetas los que diariamente hacen su recorrido circular. El triunfo de este esquema conceptual estribó en que fue capaz de explicar razonablemente las observaciones en conjunto con una dinámica del movimiento. El exponente más alto de esta teoría fue Aristóteles (384 AC - 322 AC) cuya voluminosa obra ejerció tal influencia que era conocido como el filósofo, aún en 1500 de nuestra era. Aristóteles consideró en su Física que existen cuatro elementos constitutivos del mundo: tierra, el más pesado de todos; agua, elemento menos pesado que la Tierra; aire, aún más liviano, y por último el fuego, el más leve de todos. Si no existiera un permanente movimiento, estos elementos estarían separados en forma de esferas concéntricas ubicándose en orden según su peso: tierra al centro, agua, aire y fuego. Estas cuatro esferas forman el llamado Mundo Sublunar o en palabras de Kuhn la esfera interior. Pero el movimiento de la esfera lunar se trasmite a la más interna e impura de las esferas del Universo, lo que la lleva a un estado permanente de mezcla y separación. Los elementos alejados de su posición natural tienden a regresar a ella por el camino más corto posible. El espacio es absoluto, las relaciones entre los cuerpos son intrascendentes para determinar los movimientos, sólo importa la posición del objeto. Más allá de esta esfera interna se encuentra la Esfera Celestial conformada a su vez por tantas esferas como planetas hay: la Luna, Mercurio, Venus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno, y las estrellas. Todas estas esferas concéntricas con la Tierra están constituídas por un único elemento: el éter o quinta esencia. Puro, incorruptible e inmiscible, cristalino y sin peso, es perfecto. Aristóteles imaginó un sistema de transmisión de los movimientos desde la esfera más externa de las estrellas, donde se ubica por detrás el Primer Motor, hacia la más interna mediante rozamiento. Ideada esta mecánica es consecuente con ella y en su obra De Coelo (Del Cielo) argumentó sobre la forma de la Tierra:

El movimiento natural de la Tierra, el de sus partes y el del conjunto, es hacia el centro del Universo, de ahí su actual estado de reposo en el mismo. Puesto que ambos centros se confunden en un solo punto, cabría preguntarse hacia cuál de los dos son llevadas naturalmente las cosas que tienen peso y las partes de la Tierra. ¿ Alcanzan tal punto por ser el centro del Universo o porque es el centro de la Tierra ? Los cuerpos se dirigen hacia el centro del Universo. (...) pero sucede que el centro de la Tierra y el Universo son un mismo punto. Así pues, los cuerpos con peso también se mueven en dirección al centro de la Tierra, pero sólo accidentalmente y en razón de que la Tierra tiene su centro en el centro del Universo.(...)

En cuanto a su forma, la Tierra es necesariamente esférica (...) Debemos representarnos mentalmente qué quiere decirse al afirmar que la Tierra tuvo un origen (...) De un lado, es evidente que si las partículas que la constituyen proceden de todas partes dirigiéndose hacia un mismo punto, el centro, la masa resultante debe ser necesariamente regular, pues si se añade una misma cantidad por todo el entorno, la superficie del cuerpo exterior obtenido forzosamente equidistará del centro. Tal figura es la esfera. Por otro lado, nuestra argumentación no se vería afectada en lo más mínimo si las partes de la Tierra no se precipitaran uniformemente sobre el centro. En efecto, entre dos masas la mayor siempre empujará y llevará por delante a la otra, siempre que la inclinación natural de ambas sea dirigirse hacia el centro, y la impulsión del cuerpo más pesado persistirá hasta que ambos alcancen el centro. (...)

La importancia de un esquema conceptual, como nos explica Kuhn es que define el juego de preguntas (y por lo tanto de respuestas) a la naturaleza. En este sentido una de las preguntas posibles es: si la Tierra es esférica, ¿ Cuál es su radio ?

Y acá volvemos a Colón. Los griegos ya habían especulado con la esfericidad de la Tierra. A pesar de todo el oscurantismo reinante en siglos anteriores, ¿Se conocería ese legado griego en la España de los reyes Católicos? ¿Eran ignorantes los Sabios de Salamanca? Salvador de Madariaga, en su biografía de Colón escribe:

Era entonces España uno de los mejores centros de ciencia cosmográfica de Europa y la Universidad de Salamanca lejos de ser un nido de oscurantistas ignorantes, contaba entre su profesorado a uno de los astrónomos judíos más grandes de la época, Abraham Zacuto, y había sido uno de los primeros institutos de la cristiandad en adoptar el sistema de Copérnico en sus aulas [n.de.e: aunque esto es posterior a colón]. la Universidad de Salamanca había asumido la edición y publicación de las Tablas astronómicas de Alfonso X el Sabio (siglo X).

Por otra parte muchos libros de la época divulgaban los conocimientos geográficos del momento y todos daban algún valor para el radio terrestre. Volveremos sobre esto más adelante.

El tamaño de la tierra era de crucial importancia para emprender un viaje desde europa a China tal como el que quería llevar a cabo Colón. ¿Qué mediciones existían de la Tierra hacia 1500? Como siempre, empezamos por Grecia. El mismo Aristóteles es quien en De Coelo da la primera estimación, perteneciente, se cree hoy, a Eudoxo de Cnido. El método fue estudiar las posiciones de estrellas en Egipto y Grecia simultáneamente, la diferencia angular se debe adjudicar a la esfericidad terrestre. En base a este cálculo Aristóteles anota 400.000 estadios para la circunferencia; tomando para el estadio un valor de 157,5m (valor macedónico) se obtiene 63.000 km, un 58% superior al correcto. Arquímedes (muerto en 212 AC) fue el siguiente en estimar la circunferencia en base a la observación, errónea, de que entre el cenit de Lysimachia (Grecia), y el de Siena (Aswan, Egipto) hay una diferencia angular de 24^o (ver Fig. 1). Suponiendo ambas ciudades sobre el mismo meridiano, y separadas por 20.000 estadios, el valor obtenido es de 300.000 estadios. En esta medición hay errores gruesos: la diferencia angular medida correctamente es de 16,40^o y la distancia entre ambas ciudades de 12.313 estadios (si 1 estadio = 148,15 m) o de 11.582 estadios (si 1 estadio = 157,50 m, dos de los valores más aceptados para el estadio). Como se ve uno de los problemas adicionales es saber con qué valor del estadio se calculaba la distancia.

Figura 1: Cálculo de la circunferencia de la Tierra por Arquímedes (300 A.C.). El valor hallado es de 300.000 estadios.

La siguiente determinación es debida a Eratóstenes (276 AC - 194 AC). Él consideró que los rayos solares nos llegan en forma paralela y observó que en el mediodía del solsticio vernal en la ciudad de Siena el sol está en el cenit, mientras que en Alejandría no (ver Fig. 2). El ángulo entre la dirección del cenit y la de los rayos solares en Alejandría es el mismo que separa a Siena de Alejandría respecto del centro de la Tierra. Este ángulo fue medido en 1/50 de la circunferencia, y asumiendo que las dos ciudades están separadas por 5.000 estadios, la longitud de un meridiano terrestre es igual a 250.000 estadios. Nuevamente tenemos problemas para saber qué valor asignó Eratóstenes al estadio. Si fuera 157,5 m, la circunferencia terrestre quedaría en 39.375 km, valor 2% inferior al real. También existen problemas para conocer el valor utilizado de distancia entre Siena y Alejandría (que podría haber sido 5040 estadios). Ya en la antigüedad se le encontraron errores al método, por ejemplo: el ángulo entre el cenit y la dirección del Sol, fue medido mediante la sombra generada por un gnomón o estaca vertical. Esta sombra une el borde superior del Sol con la punta del gnomón y no, como supuso Eratóstenes, con el centro del disco solar. La diferencia es de 15' de arco. Otro error es considerar a Siena y Alejandría sobre el mismo meridiano y además olvidar la diferencia de altura sobre el nivel del mar. De todas maneras ésta queda como la mejor medición antigua del radio terrestre.

Figura 2: Medición del radio terrestre por Eratóstenes. El ángulo A es igual al ángulo B que representa la distancia angular entre Siena y Alejandría. El valor hallado, de 250.000 estadios es el mejor de la antigüedad.

Otros valores fueron obtenidos por Posidonio(135 AC - 50 AC) con 240.000 estadios, aunque Estrabón posteriormente corrigió este número y consideró que era 180.000, atribuyéndoselo a Posidonio. Ptolomeo utilizó esta última estimación. Por supuesto que mantenemos la incógnita acerca del valor del estadio; si Ptolomeo hubiera considerado 185,2 m, la última estimación sería un 16% inferior y con un valor de 157,5 m el error es sumamente grosero (28).

Los árabes también aportaron lo suyo, unos 650 años después. En el año 830, el Califa Al-Ma'mun, gran mecenas de las ciencias, dio a conocer el valor obtenido por sus astrónomos mediante observaciones en las llanuras de Siria. La circunferencia según el Califa es de 20.400 millas árabes, de las que, al igual que los estadios griegos, desconocemos exactamente su valor (relacionado con la longitud de algún miembro de la esclava favorita del Califa), que va desde 2.160 m hasta 1.482 m. Semejante dispersión hace difícil saber en cuánto se equivocaron los geodestas árabes. Al Biruni (973 - 1050) empleó un método no astronómico para su valor de 20.160 millas árabes y Ahmad Ben Kebir, popularmente conocido como Alfragan, reportó que un grado de meridiano terrestre mide 56 2/3 millas árabes. Dependiendo del valor de la milla árabe considerada podría haber dado 44.097 km, 40.245 km, o 30.233 km.

Este último valor de Alfragan, fue utilizado en la obra de Pierre D'Aily<#105#>, <#106#>Imago Mundi<#106#> (impreso entre 1480 y 1483), una enciclopedia de conocimientos geográficos del mundo conocido, que fue un best-seller en su época. Pero D'Ailly consideró que la medida había sido dada en millas romanas, con un valor de 1.480 m y no en las seguramente más largas millas árabes. Con este valor el grado de meridiano pasaba a medir 83,98 km contra los 111,133 km reales. La Tierra se empequeñecía un 25%.

Colón fue un gran lector de este libro, cuyo ejemplar ha llegado a nuestros días con las anotaciones propias del dueño. El mismo Colón, en algunas de sus travesías, midió la esfericidad de la Tierra. El método es siempre el mismo aunque con variantes. Colón midió la elevación del Sol dos días consecutivos (ver Fig.~3) al mediodía; asumiendo que el desplazamiento del mismo por efecto del movimiento orbital terrestre es casi nulo, la diferencia sólo es atribuible a la esfericidad de la Tierra. Siempre que la ruta seguida haya sido norte-sur exactamente, la diferencia angular medida, junto con la distancia recorrida dan inmediatamente el valor de la longitud del meridiano, o como se gustaba de expresar en aquel tiempo, la medida de un grado de meridiano. Con sus mediciones Colón ratificó las de su libro de cabecera: un grado mide 56 2/3 millas. Cabe acotar que el método empleado por Colón introduce una gran fuente de errores porque involucra medir distancias sobre el mar, que sólo son estimadas mediante la velocidad y el tiempo. Por otra parte es de crucial importancia que la dirección seguida por el navío fuera exactamente norte--sur. Y por último, las observaciones astronómicas sobre la borda de uno de aquellos pequeños barcos medievales se veía fuertemente entorpecida por el vaivén incesante.

Figura 3: Medición de un grado de latitud por Colón. La altura del sol en el segundo día (A) menos la altura del Sol en el primer día (B) es igual a la diferencia angular entre ambos días (que llamamos C). Colón obtuvo un valor de 56 2/3 millas romanas para el grado. Su valor correcto es de 75 millas romanas.

Con todo lo dicho anteriormente, vemos que la fábula de la tierra plana es nuestra errónea visión de que en tiempos de Colón, la gente creía que la Tierra era plana. Cuando hablo de la gente me refiero a los estudiosos, los eruditos que tenían acceso a los libros griegos y árabes. El pueblo era en su mayoría analfabeto, por lo que supongo que sus conocimientos astronómicos serían muy escasos. Tal vez ellos sí creían que la tierra es plana.

Pero como acabo de decir la idea de una Tierra esférica era universalmente aceptada por los sabios de la época del descubrimiento de América, para quienes la filosofía de Aristóteles proveía la referencia y el sostén teórico imprescindibles, mientras que los distintos astrónomos, geodestas, y geógrafos habían obtenido mediciones de la circunferencia. La medición del radio terrestre se convirtió en un problema común incluso mucho antes de Colón.

Entonces, ¿ qué fue lo que demoró a Colón en su travesía? Hay muchos motivos, que Madariaga enumera largamente en su biografía. Por ejemplo, la raiz judaica del marino en tiempos de la inquisición de Torquemada, las pretensiones desmedidas de Colón de títulos, honores, prebendas y usufructos para él y su descendencia sin fin. Pero la que más nos puede importar a nosotros es que Colón afirmaba que la Tierra era un 25% más pequeña. Además Marco Polo había obtenido un valor para la distancia entre Europa y China mayor que el real. Esto acercaba las posiciones entre Europa y Cipango (China) en la dirección Oeste, tornando posible la travesía para los pequeños navíos de poca autonomía de la época. Probablemente los sabios de Salamanca desconfiaban de los valores de Colón, seguramente conocían otros cálculos del radio terrestre como el del best-seller Tractatus de Sphæra de John Holywood, Sacrobosco (1265 - 1321), de 3.580 millas romanas, un 17% menor al real.

Hoy sabemos que la Tierra es más grande de lo que Colón supuso. También sabemos que el Gran Almirante tuvo la suerte de tropezar con América, porque sino habría muerto de hambre y sed en el camino. En fin, la historia de los descubrimientos está llena de anécdotas como esta. Yo me pregunto ahora a modo de colofón: si la estimación de Eratóstenes hubiera sido la más difundida en tiempos de Colón, ¿ Cuánto tiempo más se habría demorado la Conquista Americana? ¿ Qué América habrían encontrado los conquistadores? ¿ La dividida de los Incas? ¿ La temerosa azteca por el fin de una era? ¿ Habrían sido españoles los conquistadores? Ociosa especulación, sin duda, pero bueno es recordar que los griegos dieron al ocio el rasgo de la creatividad.

por Guillermo Giménez de Castro

Bibliografía

Thomas S. Kuhn: La Revolución Copernicana, ed. Hyspamérica, 1978, Buenos Aires, Argentina.
Fred F. Kravath: The Grifith Observer, 52, 1, 2, 1988.
Fred F. Kravath: The Grifith Observer, 51, 4, 2, 1987.
Salvador de Madariaga: Vida del Muy Magnífico señor Don Cristóbal Colón, ed. Sudamericana, Buenos Aires, Argentina, 9a edición, julio de 1991.

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		*La Fábula de la Tierra Plana y el Descubrimiento de América* Colón descubrió América y demostró al mismo tiempo que la Tierra es redonda. Esa es la versión popular de la gesta del marino genovés. Nunca sabremos por qué ocurrieron estas deformaciones de la verdadera historia. Pero lo cierto es que el descubrimiento sólo puede ser tomado en cierto sentido particular. Y además, ningún sabio de aquellos tiempos dudaba de la esfericidad de nuestro viejo y buen planeta. El problema es saber cuánto mide su radio. La leyenda popular nos dice que Colón debió pelear contra el prejuicio de que la Tierra era plana; que debió convencer a los sabios de Salamanca acerca de su idea peregrina de que nuestro mundo es esférico; que se le reían en la cara por defender estos principios y que perseveró a pesar de quienes opinaban lo contrario. Nada de esto es cierto. Y para demostrarlo nos remontaremos a la Grecia clásica. Los argumentos clásicos en favor de la Tierra esférica que manejaban los griegos son: a) cuando los barcos se acercan a una costa divisan primero las estribaciones de los montes y luego las bases, b) la estrella Polar tiene distinta altura en Grecia que en Egipto (o también: algunas estrellas circunpolares de Grecia no lo son en Egipto), c) los eclipses lunares pueden ser explicados como la interposición de la Tierra ante la luz del Sol. Los griegos observaron que la sombra que avanza sobre nuestro satélite es circular. De a) y b) se puede inferir que la Tierra es al menos cilíndrica con el eje principal en dirección Este -- Oeste (hipótesis planteada por Anaximandro). De c) se infiere que la Tierra es cuanto menos un disco. Hubo en la Grecia clásica incluso algunos filósofos osados que llegaron a suponer que la Tierra además de redonda no ocupaba el sitial preferencial del centro del Universo: Leucipo y Demócrito en el V AC creían en un Universo infinito donde el centro no tenía sentido; Pitágoras en el IV AC suponía que Tierra, Sol, Luna, planetas y estrellas giraban alrededor de un Fuego Central; en la misma época Heráclides del Ponto sugirió que el movimiento diario de los astros celestes era debido a la rotación de la Tierra, obviamente esférica; Aristarco de Samos en el III AC precedió a Copérnico en 1800 años y pensó que el Centro del Universo era el Sol, alrededor del cual giraban en órbitas circulares los planetas, incluída la Tierra. Estas teorías eran sumamente osadas para su época y hoy se nos revelan ciertas, pero en aquellos tiempos debían responder interrogantes imposibles para el bagaje teórico y observacional disponible. El modelo teórico, paradigma o esquema conceptual a decir de T. S. Kuhn más exitoso de aquellos años fue sin duda el Universo de las dos esferas. Básicamente consistía en considerar a la Tierra como una esfera (la interna) en el centro del Universo y el resto de planetas, estrellas, Sol, y Luna en la esfera externa. En este contexto son las estrellas y planetas los que diariamente hacen su recorrido circular. El triunfo de este esquema conceptual estribó en que fue capaz de explicar razonablemente las observaciones en conjunto con una dinámica del movimiento. El exponente más alto de esta teoría fue Aristóteles (384 AC - 322 AC) cuya voluminosa obra ejerció tal influencia que era conocido como el filósofo, aún en 1500 de nuestra era. Aristóteles consideró en su Física que existen cuatro elementos constitutivos del mundo: tierra, el más pesado de todos; agua, elemento menos pesado que la Tierra; aire, aún más liviano, y por último el fuego, el más leve de todos. Si no existiera un permanente movimiento, estos elementos estarían separados en forma de esferas concéntricas ubicándose en orden según su peso: tierra al centro, agua, aire y fuego. Estas cuatro esferas forman el llamado Mundo Sublunar o en palabras de Kuhn la esfera interior. Pero el movimiento de la esfera lunar se trasmite a la más interna e impura de las esferas del Universo, lo que la lleva a un estado permanente de mezcla y separación. Los elementos alejados de su posición natural tienden a regresar a ella por el camino más corto posible. El espacio es absoluto, las relaciones entre los cuerpos son intrascendentes para determinar los movimientos, sólo importa la posición del objeto. Más allá de esta esfera interna se encuentra la Esfera Celestial conformada a su vez por tantas esferas como planetas hay: la Luna, Mercurio, Venus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno, y las estrellas. Todas estas esferas concéntricas con la Tierra están constituídas por un único elemento: el éter o quinta esencia. Puro, incorruptible e inmiscible, cristalino y sin peso, es perfecto. Aristóteles imaginó un sistema de transmisión de los movimientos desde la esfera más externa de las estrellas, donde se ubica por detrás el Primer Motor, hacia la más interna mediante rozamiento. Ideada esta mecánica es consecuente con ella y en su obra De Coelo (Del Cielo) argumentó sobre la forma de la Tierra: El movimiento natural de la Tierra, el de sus partes y el del conjunto, es hacia el centro del Universo, de ahí su actual estado de reposo en el mismo. Puesto que ambos centros se confunden en un solo punto, cabría preguntarse hacia cuál de los dos son llevadas naturalmente las cosas que tienen peso y las partes de la Tierra. ¿ Alcanzan tal punto por ser el centro del Universo o porque es el centro de la Tierra ? Los cuerpos se dirigen hacia el centro del Universo. (...) pero sucede que el centro de la Tierra y el Universo son un mismo punto. Así pues, los cuerpos con peso también se mueven en dirección al centro de la Tierra, pero sólo accidentalmente y en razón de que la Tierra tiene su centro en el centro del Universo.(...) En cuanto a su forma, la Tierra es necesariamente esférica (...) Debemos representarnos mentalmente qué quiere decirse al afirmar que la Tierra tuvo un origen (...) De un lado, es evidente que si las partículas que la constituyen proceden de todas partes dirigiéndose hacia un mismo punto, el centro, la masa resultante debe ser necesariamente regular, pues si se añade una misma cantidad por todo el entorno, la superficie del cuerpo exterior obtenido forzosamente equidistará del centro. Tal figura es la esfera. Por otro lado, nuestra argumentación no se vería afectada en lo más mínimo si las partes de la Tierra no se precipitaran uniformemente sobre el centro. En efecto, entre dos masas la mayor siempre empujará y llevará por delante a la otra, siempre que la inclinación natural de ambas sea dirigirse hacia el centro, y la impulsión del cuerpo más pesado persistirá hasta que ambos alcancen el centro. (...) La importancia de un esquema conceptual, como nos explica Kuhn es que define el juego de preguntas (y por lo tanto de respuestas) a la naturaleza. En este sentido una de las preguntas posibles es: si la Tierra es esférica, ¿ Cuál es su radio ? Y acá volvemos a Colón. Los griegos ya habían especulado con la esfericidad de la Tierra. A pesar de todo el oscurantismo reinante en siglos anteriores, ¿Se conocería ese legado griego en la España de los reyes Católicos? ¿Eran ignorantes los Sabios de Salamanca? Salvador de Madariaga, en su biografía de Colón escribe: Era entonces España uno de los mejores centros de ciencia cosmográfica de Europa y la Universidad de Salamanca lejos de ser un nido de oscurantistas ignorantes, contaba entre su profesorado a uno de los astrónomos judíos más grandes de la época, Abraham Zacuto, y había sido uno de los primeros institutos de la cristiandad en adoptar el sistema de Copérnico en sus aulas [n.de.e: aunque esto es posterior a colón]. la Universidad de Salamanca había asumido la edición y publicación de las Tablas astronómicas de Alfonso X el Sabio (siglo X). Por otra parte muchos libros de la época divulgaban los conocimientos geográficos del momento y todos daban algún valor para el radio terrestre. Volveremos sobre esto más adelante. El tamaño de la tierra era de crucial importancia para emprender un viaje desde europa a China tal como el que quería llevar a cabo Colón. ¿Qué mediciones existían de la Tierra hacia 1500? Como siempre, empezamos por Grecia. El mismo Aristóteles es quien en De Coelo da la primera estimación, perteneciente, se cree hoy, a Eudoxo de Cnido. El método fue estudiar las posiciones de estrellas en Egipto y Grecia simultáneamente, la diferencia angular se debe adjudicar a la esfericidad terrestre. En base a este cálculo Aristóteles anota 400.000 estadios para la circunferencia; tomando para el estadio un valor de 157,5m (valor macedónico) se obtiene 63.000 km, un 58% superior al correcto. Arquímedes (muerto en 212 AC) fue el siguiente en estimar la circunferencia en base a la observación, errónea, de que entre el cenit de Lysimachia (Grecia), y el de Siena (Aswan, Egipto) hay una diferencia angular de 24^o (ver Fig. 1). Suponiendo ambas ciudades sobre el mismo meridiano, y separadas por 20.000 estadios, el valor obtenido es de 300.000 estadios. En esta medición hay errores gruesos: la diferencia angular medida correctamente es de 16,40^o y la distancia entre ambas ciudades de 12.313 estadios (si 1 estadio = 148,15 m) o de 11.582 estadios (si 1 estadio = 157,50 m, dos de los valores más aceptados para el estadio). Como se ve uno de los problemas adicionales es saber con qué valor del estadio se calculaba la distancia. Figura 1: Cálculo de la circunferencia de la Tierra por Arquímedes (300 A.C.). El valor hallado es de 300.000 estadios. La siguiente determinación es debida a Eratóstenes (276 AC - 194 AC). Él consideró que los rayos solares nos llegan en forma paralela y observó que en el mediodía del solsticio vernal en la ciudad de Siena el sol está en el cenit, mientras que en Alejandría no (ver Fig. 2). El ángulo entre la dirección del cenit y la de los rayos solares en Alejandría es el mismo que separa a Siena de Alejandría respecto del centro de la Tierra. Este ángulo fue medido en 1/50 de la circunferencia, y asumiendo que las dos ciudades están separadas por 5.000 estadios, la longitud de un meridiano terrestre es igual a 250.000 estadios. Nuevamente tenemos problemas para saber qué valor asignó Eratóstenes al estadio. Si fuera 157,5 m, la circunferencia terrestre quedaría en 39.375 km, valor 2% inferior al real. También existen problemas para conocer el valor utilizado de distancia entre Siena y Alejandría (que podría haber sido 5040 estadios). Ya en la antigüedad se le encontraron errores al método, por ejemplo: el ángulo entre el cenit y la dirección del Sol, fue medido mediante la sombra generada por un gnomón o estaca vertical. Esta sombra une el borde superior del Sol con la punta del gnomón y no, como supuso Eratóstenes, con el centro del disco solar. La diferencia es de 15' de arco. Otro error es considerar a Siena y Alejandría sobre el mismo meridiano y además olvidar la diferencia de altura sobre el nivel del mar. De todas maneras ésta queda como la mejor medición antigua del radio terrestre. Figura 2: Medición del radio terrestre por Eratóstenes. El ángulo A es igual al ángulo B que representa la distancia angular entre Siena y Alejandría. El valor hallado, de 250.000 estadios es el mejor de la antigüedad. Otros valores fueron obtenidos por Posidonio(135 AC - 50 AC) con 240.000 estadios, aunque Estrabón posteriormente corrigió este número y consideró que era 180.000, atribuyéndoselo a Posidonio. Ptolomeo utilizó esta última estimación. Por supuesto que mantenemos la incógnita acerca del valor del estadio; si Ptolomeo hubiera considerado 185,2 m, la última estimación sería un 16% inferior y con un valor de 157,5 m el error es sumamente grosero (28). Los árabes también aportaron lo suyo, unos 650 años después. En el año 830, el Califa Al-Ma'mun, gran mecenas de las ciencias, dio a conocer el valor obtenido por sus astrónomos mediante observaciones en las llanuras de Siria. La circunferencia según el Califa es de 20.400 millas árabes, de las que, al igual que los estadios griegos, desconocemos exactamente su valor (relacionado con la longitud de algún miembro de la esclava favorita del Califa), que va desde 2.160 m hasta 1.482 m. Semejante dispersión hace difícil saber en cuánto se equivocaron los geodestas árabes. Al Biruni (973 - 1050) empleó un método no astronómico para su valor de 20.160 millas árabes y Ahmad Ben Kebir, popularmente conocido como Alfragan, reportó que un grado de meridiano terrestre mide 56 2/3 millas árabes. Dependiendo del valor de la milla árabe considerada podría haber dado 44.097 km, 40.245 km, o 30.233 km. Este último valor de Alfragan, fue utilizado en la obra de Pierre D'Aily<#105#>, <#106#>Imago Mundi<#106#> (impreso entre 1480 y 1483), una enciclopedia de conocimientos geográficos del mundo conocido, que fue un best-seller en su época. Pero D'Ailly consideró que la medida había sido dada en millas romanas, con un valor de 1.480 m y no en las seguramente más largas millas árabes. Con este valor el grado de meridiano pasaba a medir 83,98 km contra los 111,133 km reales. La Tierra se empequeñecía un 25%. Colón fue un gran lector de este libro, cuyo ejemplar ha llegado a nuestros días con las anotaciones propias del dueño. El mismo Colón, en algunas de sus travesías, midió la esfericidad de la Tierra. El método es siempre el mismo aunque con variantes. Colón midió la elevación del Sol dos días consecutivos (ver Fig.~3) al mediodía; asumiendo que el desplazamiento del mismo por efecto del movimiento orbital terrestre es casi nulo, la diferencia sólo es atribuible a la esfericidad de la Tierra. Siempre que la ruta seguida haya sido norte-sur exactamente, la diferencia angular medida, junto con la distancia recorrida dan inmediatamente el valor de la longitud del meridiano, o como se gustaba de expresar en aquel tiempo, la medida de un grado de meridiano. Con sus mediciones Colón ratificó las de su libro de cabecera: un grado mide 56 2/3 millas. Cabe acotar que el método empleado por Colón introduce una gran fuente de errores porque involucra medir distancias sobre el mar, que sólo son estimadas mediante la velocidad y el tiempo. Por otra parte es de crucial importancia que la dirección seguida por el navío fuera exactamente norte--sur. Y por último, las observaciones astronómicas sobre la borda de uno de aquellos pequeños barcos medievales se veía fuertemente entorpecida por el vaivén incesante. Figura 3: Medición de un grado de latitud por Colón. La altura del sol en el segundo día (A) menos la altura del Sol en el primer día (B) es igual a la diferencia angular entre ambos días (que llamamos C). Colón obtuvo un valor de 56 2/3 millas romanas para el grado. Su valor correcto es de 75 millas romanas. Con todo lo dicho anteriormente, vemos que la *fábula de la tierra plana* es nuestra errónea visión de que en tiempos de Colón, la gente creía que la Tierra era plana. Cuando hablo de la gente me refiero a los estudiosos, los eruditos que tenían acceso a los libros griegos y árabes. El pueblo era en su mayoría analfabeto, por lo que supongo que sus conocimientos astronómicos serían muy escasos. Tal vez ellos sí creían que la tierra es plana. Pero como acabo de decir la idea de una Tierra esférica era universalmente aceptada por los sabios de la época del descubrimiento de América, para quienes la filosofía de Aristóteles proveía la referencia y el sostén teórico imprescindibles, mientras que los distintos astrónomos, geodestas, y geógrafos habían obtenido mediciones de la circunferencia. La medición del radio terrestre se convirtió en un problema común incluso mucho antes de Colón. Entonces, ¿ qué fue lo que demoró a Colón en su travesía? Hay muchos motivos, que Madariaga enumera largamente en su biografía. Por ejemplo, la raiz judaica del marino en tiempos de la inquisición de Torquemada, las pretensiones desmedidas de Colón de títulos, honores, prebendas y usufructos para él y su descendencia sin fin. Pero la que más nos puede importar a nosotros es que Colón afirmaba que la Tierra era un 25% más pequeña. Además Marco Polo había obtenido un valor para la distancia entre Europa y China mayor que el real. Esto acercaba las posiciones entre Europa y Cipango (China) en la dirección Oeste, tornando posible la travesía para los pequeños navíos de poca autonomía de la época. Probablemente los sabios de Salamanca desconfiaban de los valores de Colón, seguramente conocían otros cálculos del radio terrestre como el del best-seller Tractatus de Sphæra de John Holywood, Sacrobosco (1265 - 1321), de 3.580 millas romanas, un 17% menor al real. Hoy sabemos que la Tierra es más grande de lo que Colón supuso. También sabemos que el Gran Almirante tuvo la suerte de tropezar con América, porque sino habría muerto de hambre y sed en el camino. En fin, la historia de los descubrimientos está llena de anécdotas como esta. Yo me pregunto ahora a modo de colofón: si la estimación de Eratóstenes hubiera sido la más difundida en tiempos de Colón, ¿ Cuánto tiempo más se habría demorado la Conquista Americana? ¿ Qué América habrían encontrado los conquistadores? ¿ La dividida de los Incas? ¿ La temerosa azteca por el fin de una era? ¿ Habrían sido españoles los conquistadores? Ociosa especulación, sin duda, pero bueno es recordar que los griegos dieron al ocio el rasgo de la creatividad. por Guillermo Giménez de Castro *Bibliografía* Thomas S. Kuhn La Revolución Copernicana, ed. Hyspamérica, 1978, Buenos Aires, Argentina. Fred F. Kravath The Grifith Observer, 52, 1, 2, 1988. Fred F. Kravath The Grifith Observer, 51, 4, 2, 1987. Salvador de Madariaga Vida del Muy Magnífico señor Don Cristóbal Colón, ed. Sudamericana, Buenos Aires, Argentina, 9a edición, julio de 1991.